Calcule as primitivas abaixo:
b. integral t^3-3 t^2+4 t-2t-2 d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a primitiva da função . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente, usando divisão de polinômios para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio pelo divisor . Isso vai simplificar a fração e facilitar a integração.

Passo 3

Dividindo t^3 - 3t^2 + 4t - 2 - (t^3 - 2t^2) = -t^2 + 4t - 2 por -t^2 + 4t - 2 - (-t^2 + 2t) = 2t - 2 :
  1. O primeiro termo é 2t - 2 - (2t - 4) = 2 .
  2. Multiplicamos por e subtraímos do polinômio original:
  3. Agora, dividimos por dando .
  4. Multiplicamos por e subtraímos:
  5. Finalmente, dividimos por dando .
  6. Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão resulta em com resto .

Passo 4

Agora, podemos reescrever a fração original:
t^3 - 3t^2 + 4t - 2t - 2 = t^2 - t + 2 + 2t - 2
Isso facilita a integração porque cada termo é mais simples de integrar separadamente.

Passo 5

Vamos integrar cada parte:
integral ( t^2 - t + 2 + 2t - 2 ) dt = integral t^2 dt - integral t dt + integral 2 dt + integral 2t - 2 dt
Usamos regras básicas de integração para cada termo.

Passo 6

Calculando cada integral:

Resposta

A primitiva é:
t^33 - t^22 + 2t + 2 ln|t - 2| + C
onde é a constante de integração.

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