Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências das funções trigonométricas seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades de potência. Sabemos que e . Além disso, podemos lembrar que e . Mas, para facilitar, vamos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos usar as identidades de potência dupla. Sabemos que:
Substituindo essas identidades na integral:

Passo 4

Vamos simplificar multiplicando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Perceba que temos , o que sugere usar substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Mas na nossa integral temos , que é .

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de :
Precisamos expressar em termos de também. Sabemos que:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
Simplificando:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Voltando para :

Resposta

A integral indefinida é:

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Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
j)
Calcule as seguintes primitivas:
b. .
Calcule as seguintes primitivas:
e. .