Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c. integral sen^3(z) cos ^3(z) d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral sin^3(z) cos^3(z) , dz. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências das funções trigonométricas seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades de potência. Sabemos que sin^3(z) = sin(z) cdot sin^2(z) e cos^3(z) = cos(z) cdot cos^2(z). Além disso, podemos lembrar que sin^2(z) = 1 - cos^2(z) e cos^2(z) = 1 - sin^2(z). Mas, para facilitar, vamos reescrever a integral como:
integral sin^3(z) cos^3(z) , dz = integral sin^2(z) cos^2(z) cdot sin(z) cos(z) , dz

Passo 3

Agora, vamos usar as identidades de potência dupla. Sabemos que:
sin^2(z) = 1 - cos(2z)2 e cos^2(z) = 1 + cos(2z)2
Substituindo essas identidades na integral:
integral (1 - cos(2z)2) (1 + cos(2z)2) cdot sin(z) cos(z) , dz

Passo 4

Vamos simplificar multiplicando os termos:
(1 - cos(2z)2) (1 + cos(2z)2) = 1 - cos^2(2z)4
Então, a integral fica:
integral 1 - cos^2(2z)4 cdot sin(z) cos(z) , dz = 14 integral (1 - cos^2(2z)) sin(z) cos(z) , dz

Passo 5

Perceba que temos sin(z) cos(z), o que sugere usar substituição. Vamos definir:
u = sin(z)
Então, a derivada de u em relação a z é:
du = cos(z) , dz
Mas na nossa integral temos sin(z) cos(z) , dz, que é u , du.

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de u:
14 integral (1 - cos^2(2z)) u , du
Precisamos expressar cos(2z) em termos de u também. Sabemos que:
cos(2z) = 1 - 2sin^2(z) = 1 - 2u^2
Então,
cos^2(2z) = (1 - 2u^2)^2 = 1 - 4u^2 + 4u^4

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
14 integral [1 - (1 - 4u^2 + 4u^4)] u , du = 14 integral (4u^2 - 4u^4) u , du
Simplificando:
14 integral (4u^3 - 4u^5) , du = 14 (4 integral u^3 , du - 4 integral u^5 , du)

Passo 8

Integrando termo a termo:
14 (4 cdot u^44 - 4 cdot u^66) = 14 (u^4 - 23u^6)
Voltando para u = sin(z):
14 (sin^4(z) - 23sin^6(z)) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^3(z) cos^3(z) , dz = 14 sin^4(z) - 16 sin^6(z) + C

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