Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c.
.
c.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve potências das funções trigonométricas seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando identidades de potência. Sabemos que
e
. Além disso, podemos lembrar que
e
. Mas, para facilitar, vamos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, vamos usar as identidades de potência dupla. Sabemos que:
Substituindo essas identidades na integral:
Passo 4
Vamos simplificar multiplicando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Perceba que temos
, o que sugere usar substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas na nossa integral temos
, que é
.
Passo 6
Reescrevendo a integral em termos de
:
Precisamos expressar
em termos de
também. Sabemos que:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
j)
j)
Calcule as seguintes primitivas:
b. .
b.
Calcule as seguintes primitivas:
e. .
e.