Calcule as seguintes primitivas:
b. integral raiz4-u^2u^2 d u.

Passo 1

Vamos calcular a primitiva da função . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções que têm raízes quadradas e termos racionais. Para resolver esse problema, vamos utilizar substituição trigonométrica, uma técnica útil para integrar expressões com raízes de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que u = 2sintheta se assemelha à identidade trigonométrica du = 2costheta, dtheta .
Vamos definir:
Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Substituindo integral raiz4 - u^2u^2, du = integral raiz4 - 4sin^2theta4sin^2theta cdot 2costheta, dtheta e raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta na integral original:
integral 2costheta4sin^2theta cdot 2costheta, dtheta = integral 4cos^2theta4sin^2theta, dtheta = integral cos^2thetasin^2theta, dtheta
Simplificando a expressão da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

A expressão cottheta = costhetasintheta pode ser escrita usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
cos^2thetasin^2theta = cot^2theta
Então:
integral cot^2theta, dtheta
Nossa integral agora é:

Passo 5

Para integrar cot^2theta = csc^2theta - 1 , usamos a identidade:
integral cot^2theta, dtheta = integral (csc^2theta - 1), dtheta = -cottheta - theta + C
Então, a integral se torna:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original sintheta = u2 . Sabemos que cottheta = raiz4 - u^2u , então:
theta = arcsin(u2)
Podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é 2. Assim:
E:

Passo 7

Substituindo -cottheta - theta + C = -raiz4 - u^2u - arcsin(u2) + C e de volta na expressão da antiderivada:

Resposta

Portanto, a primitiva da função -raiz4 - u^2u - arcsin(u2) + C é:

Exercícios relacionados