Calcule as seguintes primitivas:
b. .

Passo 1

Vamos calcular a primitiva da função . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções que têm raízes quadradas e termos racionais. Para resolver esse problema, vamos utilizar substituição trigonométrica, uma técnica útil para integrar expressões com raízes de polinômios quadráticos.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que se assemelha à identidade trigonométrica .
Vamos definir:
Assim, a derivada de em relação a é:

Passo 3

Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

A expressão pode ser escrita usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então:
Nossa integral agora é:

Passo 5

Para integrar , usamos a identidade:
Então, a integral se torna:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original . Sabemos que , então:
Podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é 2. Assim:
E:

Passo 7

Substituindo e de volta na expressão da antiderivada:

Resposta

Portanto, a primitiva da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c. .
Calcule as seguintes primitivas:
e. .
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
m)