Calcule as seguintes primitivas:
b.
.
b.
Passo 1
Vamos calcular a primitiva da função
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções que têm raízes quadradas e termos racionais. Para resolver esse problema, vamos utilizar substituição trigonométrica, uma técnica útil para integrar expressões com raízes de polinômios quadráticos.
Passo 2
Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
se assemelha à identidade trigonométrica
.
Vamos definir:
Assim, a derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando a expressão da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
A expressão
pode ser escrita usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então:
Nossa integral agora é:
Passo 5
Para integrar
, usamos a identidade:
Então, a integral se torna:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que
, então:
Podemos imaginar um triângulo retângulo onde o cateto oposto a
é
, o cateto adjacente é
e a hipotenusa é 2. Assim:
E:
Passo 7
Substituindo
e
de volta na expressão da antiderivada:
Resposta
Portanto, a primitiva da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c. .
c.
Calcule as seguintes primitivas:
e. .
e.
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
m)
m)