Calcule as seguintes primitivas:
e. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma primitiva que envolve a raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e usar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão . Primeiro, fatoramos o coeficiente de , que é :

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Assim, a expressão dentro da raiz fica mais simples:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a integração. Vamos definir:

Passo 7

Substituindo na integral original:

Passo 8

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original . Sabemos que:
Além disso,

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da integral:

Passo 11

Finalmente, substituindo de volta , temos:

Resposta

A primitiva da integral dada é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes primitivas:
b. .
Calcule as integrais indefinidas a seguir:
c. .
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
m)
Ajuste os expoentes e, fazendo uso da Regra do Tombo, calcule a derivada das seguintes funções:
n)