Calcule as seguintes primitivas:
e. integral raiz5+4 z-z^2 d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz5 + 4z - z^2 , dz. Aqui, estamos lidando com uma primitiva que envolve a raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado na expressão dentro da raiz e usar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a expressão dentro da raiz para facilitar o processo de completar o quadrado:
5 + 4z - z^2 = -z^2 + 4z + 5

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão -z^2 + 4z + 5. Primeiro, fatoramos o coeficiente de z^2, que é -1:
-z^2 + 4z + 5 = -(z^2 - 4z) + 5

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos (42)^2 = 4:
-z^2 + 4z + 5 = -(z^2 - 4z + 4 - 4) + 5 = -(z - 2)^2 + 4 + 5 = -(z - 2)^2 + 9

Passo 5

Assim, a expressão dentro da raiz fica mais simples:
raiz5 + 4z - z^2 = raiz9 - (z - 2)^2

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica para facilitar a integração. Vamos definir:
z - 2 = 3 sin theta Rightarrow dz = 3 cos theta , dtheta

Passo 7

Substituindo na integral original:
integral raiz9 - (z - 2)^2 , dz = integral raiz9 - 9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta = integral 3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = 9 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 8

Para integrar cos^2 theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então,
9 integral cos^2 theta , dtheta = 9 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 92 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 92 ( theta + sin 2theta2 ) + C

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original z. Sabemos que:
sin theta = z - 23 Rightarrow theta = arcsin(z - 23)
Além disso,
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot z - 23 cdot raiz9 - (z - 2)^23 = 2(z - 2)raiz9 - (z - 2)^29

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da integral:
92 arcsin(z - 23) + 94 cdot 2(z - 2)raiz9 - (z - 2)^29 + C = 92 arcsin(z - 23) + (z - 2)raiz9 - (z - 2)^22 + C

Passo 11

Finalmente, substituindo de volta 9 - (z - 2)^2 = 5 + 4z - z^2, temos:
92 arcsin(z - 23) + (z - 2)raiz5 + 4z - z^22 + C

Resposta

A primitiva da integral dada é:
92 arcsin(z - 23) + (z - 2)raiz5 + 4z - z^22 + C

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