Calcule as integrais indefinidas a seguir:
d.
.
d.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral indefinida
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma ferramenta poderosa para simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, observe que temos potências ímpares de seno (
). Uma boa estratégia aqui é separar uma potência de
para facilitar a substituição. Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
Sabemos que
pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, observe que temos uma expressão que se encaixa bem para a substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Isso significa que
. Vamos substituir
e
na nossa integral:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso separa a integral em duas partes mais simples que podemos integrar individualmente.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Aqui,
é a constante de integração que sempre adicionamos em integrais indefinidas.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral indefinida é: