Calcule as integrais indefinidas a seguir:
d. integral sen^3(t) cos ^21(t) d t.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas, especificamente potências de seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma ferramenta poderosa para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, observe que temos potências ímpares de seno ( integral sin^3(t) cos^21(t) , dt = integral sin^2(t) cdot sin(t) cos^21(t) , dt ). Uma boa estratégia aqui é separar uma potência de sin^2(t) = 1 - cos^2(t) para facilitar a substituição. Podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
integral (1 - cos^2(t)) cdot sin(t) cos^21(t) , dt
Sabemos que pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, observe que temos uma expressão que se encaixa bem para a substituição. Vamos deixar dudt = -sin(t) Rightarrow du = -sin(t) , dt . Assim, a derivada de integral (1 - u^2) cdot (-du) cdot u^21 = -integral (1 - u^2) u^21 , du em relação a é:
Isso significa que . Vamos substituir e na nossa integral:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
-integral (1 - u^2) u^21 , du = -integral (u^21 - u^23) , du
Isso separa a integral em duas partes mais simples que podemos integrar individualmente.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
- ( integral u^21 , du - integral u^23 , du ) = - ( u^2222 - u^2424 ) + C
Aqui, é a constante de integração que sempre adicionamos em integrais indefinidas.

Passo 6

Agora, substituímos - ( cos^22(t)22 - cos^24(t)24 ) + C = cos^24(t)24 - cos^22(t)22 + C de volta para :

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^3(t) cos^21(t) , dt = cos^24(t)24 - cos^22(t)22 + C

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