Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d. integral sen^2(2 t) cos (t) d t.

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral indefinida de sen^2(2 t) cos(t) , dt. Isso está na área de Cálculo Integral e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e métodos de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sen^2(2 t) usando a identidade trigonométrica de potência dupla:
sen^2(x) = 1 - cos(2x)2
Aplicando essa identidade:
sen^2(2 t) = 1 - cos(4 t)2

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sen^2(2 t) cos(t) , dt = integral 1 - cos(4 t)2 cos(t) , dt = 12 integral (1 - cos(4 t)) cos(t) , dt

Passo 4

Vamos distribuir o cos(t) dentro do parêntese:
12 integral cos(t) , dt - 12 integral cos(4 t) cos(t) , dt

Passo 5

Calculamos as duas integrais separadamente. Primeiro, a integral de cos(t):
integral cos(t) , dt = sen(t) + C
Agora, para cos(4 t) cos(t), usamos a identidade de produto para cosenos:
cos(A)cos(B) = cos(A+B) + cos(A-B)2
Aplicando com A = 4t e B = t:
cos(4 t)cos(t) = cos(5 t) + cos(3 t)2

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
- 12 integral cos(4 t) cos(t) , dt = - 12 integral cos(5 t) + cos(3 t)2 , dt = - 14 integral cos(5 t) , dt - 14 integral cos(3 t) , dt

Passo 7

Integrando cos(5 t) e cos(3 t):
integral cos(5 t) , dt = sen(5 t)5 + C
integral cos(3 t) , dt = sen(3 t)3 + C

Passo 8

Substituindo de volta:
- 14 ( sen(5 t)5 + sen(3 t)3 ) = - sen(5 t)20 - sen(3 t)12 + C

Passo 9

Agora, juntamos todas as partes:
12 sen(t) - sen(5 t)20 - sen(3 t)12 + C

Resposta

A integral é igual a:
12 sen(t) - sen(5 t)20 - sen(3 t)12 + C

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