Calcule as seguintes integrais indefinidas:
b. integral sen(4 theta) cos (2 theta) cos (3 theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral indefinida . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar produtos de funções trigonométricas. Vamos precisar aplicar essas identidades passo a passo para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)] . Para isso, vamos usar a identidade do produto de cossenos:
cos(2theta) cos(3theta) = 12 [cos(5theta) + cos(-theta)]
Aplicando cos(2theta) cos(3theta) = 12 [cos(5theta) + cos(theta)] e :
Como , simplificamos para:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(4theta) cos(2theta) cos(3theta) , dtheta = integral sin(4theta) ( 12 [cos(5theta) + cos(theta)] ) dtheta
Simplificando:
= 12 integral sin(4theta) cos(5theta) , dtheta + 12 integral sin(4theta) cos(theta) , dtheta

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando a identidade do produto de seno e cosseno:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Primeira integral:
12 integral sin(4theta) cos(5theta) , dtheta = 12 cdot 12 integral [sin(9theta) + sin(-theta)] , dtheta
Como = 14 integral sin(9theta) - sin(theta) , dtheta :
= 14 ( -cos(9theta)9 + cos(theta)1 ) + C1
Integrando:
12 integral sin(4theta) cos(theta) , dtheta = 12 cdot 12 integral [sin(5theta) + sin(3theta)] , dtheta
Segunda integral:
= 14 ( -cos(5theta)5 - cos(3theta)3 ) + C2
Integrando:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes:
14 ( -cos(9theta)9 + cos(theta) ) + 14 ( -cos(5theta)5 - cos(3theta)3 ) + C
Simplificando os termos:
= -cos(9theta)36 + cos(theta)4 - cos(5theta)20 - cos(3theta)12 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin(4theta) cos(2theta) cos(3theta) , dtheta = -cos(9theta)36 + cos(theta)4 - cos(5theta)20 - cos(3theta)12 + C
Onde é a constante de integração.

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