Calcule as integrais indefinidas a seguir:
f. integral sen^4(u) d u.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do estudo de integrais de funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas que ajudam a diminuir a potência do seno, deixando a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^2(u) = 1 - cos(2u)2 pode ser escrito como . A gente sabe que pode ser expressa usando uma identidade trigonométrica que transforma potências de seno em funções com potências menores. A fórmula que usamos é:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão original.

Passo 3

Aplicando essa identidade, temos:
sin^4(u) = (sin^2(u))^2 = (1 - cos(2u)2)^2
Vamos agora expandir esse quadrado para facilitar a integração.

Passo 4

Expandindo o quadrado, ficamos com:
(1 - cos(2u)2)^2 = 1 - 2cos(2u) + cos^2(2u)4
Então, a integral original fica:
integral sin^4(u) , du = integral 1 - 2cos(2u) + cos^2(2u)4 , du
Podemos separar essa integral em partes menores.

Passo 5

Vamos dividir a integral em três partes:
integral sin^4(u) , du = 14integral 1 , du - 24integral cos(2u) , du + 14integral cos^2(2u) , du
Simplificando os coeficientes:
= 14integral 1 , du - 12integral cos(2u) , du + 14integral cos^2(2u) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Primeira integral:
14integral 1 , du = 14u
  1. Segunda integral:
- 12integral cos(2u) , du
Para integrar integral cos(ax) , dx = sin(ax)a + C , usamos a fórmula:
- 12 cdot sin(2u)2 = - sin(2u)4
Aplicando:
14integral cos^2(2u) , du
  1. Terceira integral:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Aqui, usamos outra identidade trigonométrica para cos^2(2u) = 1 + cos(4u)2 :
14integral 1 + cos(4u)2 , du = 18integral 1 , du + 18integral cos(4u) , du
Aplicando para 18u + 18 cdot sin(4u)4 = 18u + sin(4u)32 :
Então:
Integrando:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes que integramos:
integral sin^4(u) , du = 14u - sin(2u)4 + 18u + sin(4u)32 + C
Vamos combinar os termos semelhantes:
14u + 18u = 38u
Então, a expressão fica:
38u - sin(2u)4 + sin(4u)32 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^4(u) , du = 38u - sin(2u)4 + sin(4u)32 + C

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Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d. integral sen^2(2 t) cos (t) d t
Calcule as seguintes derivadas: f(x) = ln[sen((x-1)/x)]
Se f e g são funções diferenciáveis tais que f(2)=3, f'(2)=-1, g(2)=-5 e g'(2) = 2, determine o valor de h'(2) se: h(x) = f(x) * g(x);
Se f e g são funções diferenciáveis tais que f(2)=3, f'(2)=-1, g(2)=-5 e g'(2) = 2, determine o valor de h'(2) se: h(x) = f(x) / g(x)