Calcule as integrais indefinidas a seguir:
f.
.
f.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral indefinida de
em relação a
. Isso faz parte do estudo de integrais de funções trigonométricas, especificamente potências de seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas que ajudam a diminuir a potência do seno, deixando a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser escrito como
. A gente sabe que
pode ser expressa usando uma identidade trigonométrica que transforma potências de seno em funções com potências menores. A fórmula que usamos é:
Isso nos ajuda a simplificar a expressão original.
Passo 3
Aplicando essa identidade, temos:
Vamos agora expandir esse quadrado para facilitar a integração.
Passo 4
Expandindo o quadrado, ficamos com:
Então, a integral original fica:
Podemos separar essa integral em partes menores.
Passo 5
Vamos dividir a integral em três partes:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Para integrar
, usamos a fórmula:
Aplicando:
- Terceira integral:
Aqui, usamos outra identidade trigonométrica para
:
Aplicando para
:
Então:
Integrando:
Passo 7
Agora, juntando todas as partes que integramos:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d.
d.
Calcule as seguintes derivadas:
Se
e
são funções diferenciáveis tais que
e
, determine o valor de
se:
;
Se
e
são funções diferenciáveis tais que
e
, determine o valor de
se: