Calcule as seguintes integrais indefinidas:
d. integral sen^2(2 t) cos (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Isso envolve matérias de cálculo integral e identidades trigonométricas. Vamos precisar usar uma identidade para e também fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 usando a identidade trigonométrica:
sin^2(2t) = 1 - cos(4t)2
Aplicando isso para integral sin^2(2t) cos(t) , dt = integral 1 - cos(4t)2 cos(t) , dt , temos:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:
12 integral cos(t) , dt - 12 integral cos(4t) cos(t) , dt
A primeira integral é direta, e para a segunda, vamos usar uma identidade de produto para cosenos:
cos(A)cos(B) = cos(A+B) + cos(A-B)2
Aqui, cos(4t)cos(t) = cos(5t) + cos(3t)2 e 12 integral cos(t) , dt - 12 integral cos(5t) + cos(3t)2 , dt , então:
12 integral cos(t) , dt - 14 integral cos(5t) , dt - 14 integral cos(3t) , dt
Substituindo de volta na integral:
Que simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 integral cos(t) , dt = 12 sin(t) + C
-14 integral cos(5t) , dt = -14 cdot sin(5t)5 = -sin(5t)20
-14 integral cos(3t) , dt = -14 cdot sin(3t)3 = -sin(3t)12

Passo 5

Juntando tudo, temos:
12 sin(t) - sin(5t)20 - sin(3t)12 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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