Calcule as integrais indefinidas a seguir:
integral 2 x+1(x-1)(x+2)^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral indefinida:
integral 2x + 1(x - 1)(x + 2)^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma fração racional, que é um quociente de polinômios. Para resolver esse tipo de integral, a gente vai usar a fração parcial, que ajuda a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
2x + 1(x - 1)(x + 2)^2 = Ax - 1 + Bx + 2 + C(x + 2)^2
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x + 1 = A(x + 2)^2 + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1) para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
  • 2x + 1 = A x^2 + 4A x + 4A + B x^2 + B x - 2B + C x - C
Então, substituindo de volta na equação:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
2x + 1 = (A + B) x^2 + (4A + B + C) x + (4A - 2B - C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 4A + B + C = 2 4A - 2B - C = 1

Passo 7

Resolvemos esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 3A + C = 2 6A - C = 1
  2. Substituindo 9A = 3 Rightarrow A = 13 na segunda equação: 3 cdot 13 + C = 2 Rightarrow 1 + C = 2 Rightarrow C = 1
  3. Substituindo na terceira equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Então, .
Substituindo na segunda equação:

Passo 8

Agora que encontramos 2x + 1(x - 1)(x + 2)^2 = 13x - 1 + -13x + 2 + 1(x + 2)^2 , 2x + 1(x - 1)(x + 2)^2 = 13(x - 1) - 13(x + 2) + 1(x + 2)^2 e , podemos escrever a decomposição:
Simplificando:

Passo 9

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 13(x - 1) , dx - integral 13(x + 2) , dx + integral 1(x + 2)^2 , dx
Simplificando as integrais:
13 integral 1x - 1 , dx - 13 integral 1x + 2 , dx + integral (x + 2)^-2 , dx

Passo 10

Integrando termo a termo:

Passo 11

Juntando tudo e adicionando a constante de integração 13 ln|x - 1| - 13 ln|x + 2| - 1x + 2 + C :
13 ln|x - 1x + 2| - 1x + 2 + C
Podemos simplificar os logaritmos:

Resposta

A integral indefinida é:
13 ln|x - 1x + 2| - 1x + 2 + C

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