Calcule as integrais indefinidas a seguir:
e. integral sen^2(theta) cos ^2(theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar usar algumas identidades trigonométricas que ajudam a simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta) . Uma identidade que pode ajudar aqui é a identidade do ângulo duplo. Sabemos que:
sin(theta) cos(theta) = sin(2theta)2
Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão original:
sin^2(theta) cos^2(theta) = ( sin(theta) cos(theta) )^2 = ( sin(2theta)2 )^2 = sin^2(2theta)4
Então, a integral fica:
integral sin^2(theta) cos^2(theta) dtheta = integral sin^2(2theta)4 dtheta = 14 integral sin^2(2theta) dtheta

Passo 4

Para integrar sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 , usamos a fórmula de redução de potência para o seno:
sin^2(2theta) = 1 - cos(4theta)2
Aplicando isso para 14 integral 1 - cos(4theta)2 dtheta = 18 integral (1 - cos(4theta)) dtheta :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1 , dtheta = theta
integral cos(4theta) dtheta = sin(4theta)4
Assim, substituindo de volta:
18 ( theta - sin(4theta)4 ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral sin^2(theta) cos^2(theta) dtheta = theta8 - sin(4theta)32 + C

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