Calcule as seguintes integrais indefinidas:
c. integral cos (t) cos (2 t) cos (3 t) d t.

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral indefinida de cos(t) cos(2t) cos(3t) , dt. Isso envolve trigonometria e integração. Pra resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o produto dos três cossenos. A gente pode usar a identidade de produto de dois cossenos:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
Vamos aplicar isso nos dois primeiros cossenos: cos(t) cos(2t).

Passo 3

Aplicando a identidade:
cos(t) cos(2t) = 12 [cos(t + 2t) + cos(t - 2t)] = 12 [cos(3t) + cos(-t)]
Como cos(-t) = cos(t), então:
cos(t) cos(2t) = 12 [cos(3t) + cos(t)]

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral original:
integral cos(t) cos(2t) cos(3t) , dt = integral ( 12 [cos(3t) + cos(t)] ) cos(3t) , dt
Distribuindo o 12:
= 12 integral [cos(3t) cos(3t) + cos(t) cos(3t)] , dt

Passo 5

Vamos separar as duas integrais:
= 12 ( integral cos^2(3t) , dt + integral cos(t) cos(3t) , dt )
Para resolver essas integrais, vamos usar novamente a identidade de produto de cossenos.

Passo 6

Para integral cos^2(3t) , dt, usamos a identidade:
cos^2 A = 12 [1 + cos(2A)]
Então:
cos^2(3t) = 12 [1 + cos(6t)]
Portanto:
integral cos^2(3t) , dt = 12 integral [1 + cos(6t)] , dt = 12 ( t + sin(6t)6 )

Passo 7

Agora, para integral cos(t) cos(3t) , dt, aplicamos a identidade de produto novamente:
cos(t) cos(3t) = 12 [cos(4t) + cos(-2t)] = 12 [cos(4t) + cos(2t)]
Então:
integral cos(t) cos(3t) , dt = 12 ( sin(4t)4 + sin(2t)2 )

Passo 8

Voltando à expressão original:
12 ( 12 ( t + sin(6t)6 ) + 12 ( sin(4t)4 + sin(2t)2 ) )
Simplificando:
= 14 t + 124 sin(6t) + 116 sin(4t) + 18 sin(2t)

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos(t) cos(2t) cos(3t) , dt = 14 t + 124 sin(6t) + 116 sin(4t) + 18 sin(2t) + C
onde C é a constante de integração.

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