Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a primitiva da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especialmente aquelas que envolvem funções racionais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral tem a forma , onde . Nesse caso, uma boa estratégia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir , onde é um ângulo tal que .
Passo 3
Com a substituição , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
A integral de é uma fórmula padrão:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Agora, revertendo a substituição feita inicialmente, lembramos que , então . Substituindo de volta:
Podemos simplificar ainda mais retirando o fator constante dentro do logaritmo: