Calcule as seguintes primitivas:
d. integral 1raizt^2+16 dt.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a primitiva da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especialmente aquelas que envolvem funções racionais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem a forma , onde . Nesse caso, uma boa estratégia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir , onde é um ângulo tal que .

Passo 3

Com a substituição dt = 4 sec^2(theta) , dtheta , calculamos a derivada de integral 1raiz(4 tan(theta))^2 + 16 cdot 4 sec^2(theta) , dtheta em relação a raiz16 tan^2(theta) + 16 = raiz16 (tan^2(theta) + 1) = raiz16 sec^2(theta) = 4 sec(theta) :
integral 14 sec(theta) cdot 4 sec^2(theta) , dtheta = integral sec(theta) , dtheta
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

A integral de integral sec(theta) , dtheta = ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é uma fórmula padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, revertendo a substituição feita inicialmente, lembramos que ln | raizt^2 + 164 + t4 | + C = ln | t + raizt^2 + 164 | + C , então ln |t + raizt^2 + 16| + C' . Substituindo de volta:
Podemos simplificar ainda mais retirando o fator constante dentro do logaritmo:
Onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A primitiva da função ln | t + raizt^2 + 16 | + C é:

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