Calcule as seguintes primitivas:
d. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a primitiva da função . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especialmente aquelas que envolvem funções racionais com raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem a forma , onde . Nesse caso, uma boa estratégia é usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir , onde é um ângulo tal que .

Passo 3

Com a substituição , calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

A integral de é uma fórmula padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, revertendo a substituição feita inicialmente, lembramos que , então . Substituindo de volta:
Podemos simplificar ainda mais retirando o fator constante dentro do logaritmo:
Onde é uma nova constante de integração.

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas a seguir:
e. .
Calcule , onde:
b)
Calcule as primitivas abaixo:
e. .
Determine o polinômio de Taylor de de ordem em torno de nos seguintes casos:
a)