Calcule as primitivas abaixo: e. .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a primitiva de . Isso faz parte do conteúdo de **integração por frações parciais**. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que é uma diferença de quadrados: E ainda podemos fatorar mais: Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original usando essas fatorações: Para facilitar a integração, vamos decompor essa fração em **frações parciais**. Assumimos que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações, temos: Agora, vamos expandir cada termo:

Passo 5

Juntando todos os termos expandidos, temos: Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação, obtemos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação: Substituindo na terceira equação: Da segunda equação: Da quarta equação: Somando as duas últimas equações: Como e , temos: Substituindo e na expressão para : E substituindo e na segunda equação para encontrar :

Passo 7

Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais: Simplificando:

Passo 8

Vamos agora integrar termo a termo:

Passo 9

Integrando cada parte: 1. 2. 3. : - Separando os termos: - Integrando:

Resposta

Portanto, a primitiva é:

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