Então, a gente tem que calcular a primitiva de . Isso faz parte do conteúdo de **integração por frações parciais**. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que é uma diferença de quadrados:
E ainda podemos fatorar mais:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original usando essas fatorações:
Para facilitar a integração, vamos decompor essa fração em **frações parciais**. Assumimos que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações, temos:
Agora, vamos expandir cada termo:
Passo 5
Juntando todos os termos expandidos, temos:
Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na terceira equação:
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Somando as duas últimas equações:
Como e , temos:
Substituindo e na expressão para :
E substituindo e na segunda equação para encontrar :
Passo 7
Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora integrar termo a termo:
Passo 9
Integrando cada parte:
1.
2.
3. :
- Separando os termos:
- Integrando: