Então, a gente tem que calcular a primitiva de . Isso faz parte do conteúdo de integração por frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Note que é uma diferença de quadrados:
E ainda podemos fatorar mais:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original usando essas fatorações:
Para facilitar a integração, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum para eliminar as frações, temos:
Agora, vamos expandir cada termo:
Passo 5
Juntando todos os termos expandidos, temos:
Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
C = -A - B
Substituindo A + B - (-A - B) = -2 Rightarrow 2A + 2B = -2 Rightarrow A + B = -1 na terceira equação:
A - B + D = 1
Da segunda equação:
A - B - D = -1
Da quarta equação:
2(A - B) = 0 Rightarrow A - B = 0 Rightarrow A = B
Somando as duas últimas equações:
2A = -1 Rightarrow A = -12, B = -12
Como C = -(-12) - (-12) = 1 e -12 - (-12) + D = 1 Rightarrow D = 1 , temos:
Substituindo e na expressão para :
E substituindo e na segunda equação para encontrar :
Passo 7
Agora que temos os valores de x^2-2x-1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = -12x - 1 + -12x + 1 + 1x + 1x^2 + 1 , x^2-2x-1x^4-1 = -12(1x - 1 + 1x + 1) + x + 1x^2 + 1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora integrar termo a termo:
integral x^2-2x-1x^4-1 dx = -12 integral 1x - 1 dx - 12 integral 1x + 1 dx + integral x + 1x^2 + 1 dx