Calcule as primitivas abaixo:
e. integral x^2-2 x-1x^4-1 d x.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a primitiva de x^2-2x-1x^4-1. Isso faz parte do conteúdo de integração por frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) . Note que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados:
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
E ainda podemos fatorar mais:
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original usando essas fatorações:
x^2-2x-1x^4-1 = x^2-2x-1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
Para facilitar a integração, vamos decompor essa fração em frações parciais. Assumimos que:
x^2-2x-1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx + Dx^2 + 1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum x^2 - 2x - 1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x - 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 - 1) para eliminar as frações, temos:
A(x + 1)(x^2 + 1) = A(x^3 + x^2 + x + 1)
Agora, vamos expandir cada termo:
B(x - 1)(x^2 + 1) = B(x^3 + x - x^2 - 1)
(Cx + D)(x^2 - 1) = Cx^3 - Cx + Dx^2 - D

Passo 5

Juntando todos os termos expandidos, temos:
x^2 - 2x - 1 = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (A + B - C)x + (A - B - D)
Comparando os coeficientes dos termos de mesmo grau em ambos os lados da equação, obtemos o seguinte sistema de equações:
A + B + C = 0 (coeficiente de x^3) A - B + D = 1 (coeficiente de x^2) A + B - C = -2 (coeficiente de x) A - B - D = -1 (constante)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
C = -A - B
Substituindo A + B - (-A - B) = -2 Rightarrow 2A + 2B = -2 Rightarrow A + B = -1 na terceira equação:
A - B + D = 1
Da segunda equação:
A - B - D = -1
Da quarta equação:
2(A - B) = 0 Rightarrow A - B = 0 Rightarrow A = B
Somando as duas últimas equações:
2A = -1 Rightarrow A = -12, B = -12
Como C = -(-12) - (-12) = 1 e -12 - (-12) + D = 1 Rightarrow D = 1 , temos:
Substituindo e na expressão para :
E substituindo e na segunda equação para encontrar :

Passo 7

Agora que temos os valores de x^2-2x-1(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = -12x - 1 + -12x + 1 + 1x + 1x^2 + 1 , x^2-2x-1x^4-1 = -12(1x - 1 + 1x + 1) + x + 1x^2 + 1 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Vamos agora integrar termo a termo:
integral x^2-2x-1x^4-1 dx = -12 integral 1x - 1 dx - 12 integral 1x + 1 dx + integral x + 1x^2 + 1 dx

Passo 9

Integrando cada parte:
  1. integral xx^2 + 1 dx + integral 1x^2 + 1 dx
  2. 12 ln(x^2 + 1) + arctan(x)
  3. :
    • Separando os termos:
    • Integrando:

Resposta

Portanto, a primitiva é:
-12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + 12 ln(x^2 + 1) + arctan(x) + C

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