Calcule as integrais indefinidas a seguir: integral sen^2 5 x cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral indefinida de sin^2(5x) cos(2x) , dx. Isso envolve trigonometria e cálculo de integrais, então vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para sin^2A:
sin^2A = 1 - cos(2A)2
Aqui, A é 5x, então vamos aplicar isso:
sin^2(5x) = 1 - cos(10x)2

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin^2(5x) cos(2x) , dx = integral ( 1 - cos(10x)2 ) cos(2x) , dx
Isso simplifica para:
12 integral (1 - cos(10x)) cos(2x) , dx

Passo 4

Vamos distribuir o cos(2x) dentro dos parênteses:
12 integral cos(2x) , dx - 12 integral cos(10x) cos(2x) , dx

Passo 5

A primeira integral é direta:
integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C
Mas como estamos lidando com uma integral indefinida, a constante de integração ficará só no final.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral cos(10x) cos(2x) , dx. Para isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
cos(A)cos(B) = cos(A - B) + cos(A + B)2
Aplicando isso aqui:
cos(10x)cos(2x) = cos(8x) + cos(12x)2

Passo 7

Substituímos de volta na integral:
-12 integral cos(8x) + cos(12x)2 , dx = -14 integral cos(8x) , dx - 14 integral cos(12x) , dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
integral cos(8x) , dx = sin(8x)8 + C
integral cos(12x) , dx = sin(12x)12 + C

Passo 9

Substituindo de volta:
-14 cdot sin(8x)8 - 14 cdot sin(12x)12 = -sin(8x)32 - sin(12x)48

Passo 10

Voltando à primeira parte da integral, que era 12 integral cos(2x) , dx:
12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4

Passo 11

Finalmente, juntando tudo:
sin(2x)4 - sin(8x)32 - sin(12x)48 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral sin^2(5x) cos(2x) , dx = sin(2x)4 - sin(8x)32 - sin(12x)48 + C

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