Calcule as integrais indefinidas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a integral indefinida de . Isso envolve trigonometria e cálculo de integrais, então vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica para :
Aqui, é , então vamos aplicar isso:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos distribuir o dentro dos parênteses:

Passo 5

A primeira integral é direta:
Mas como estamos lidando com uma integral indefinida, a constante de integração ficará só no final.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: . Para isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
Aplicando isso aqui:

Passo 7

Substituímos de volta na integral:

Passo 8

Vamos integrar cada termo:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Voltando à primeira parte da integral, que era :

Passo 11

Finalmente, juntando tudo:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas a seguir:
Calcule as integrais a seguir:
Faça o esboço da região plana limitada pelas curvas indicadas (Valendo 2,5 Pontos) e calcule sua área (Valendo 2,5 Pontos): R é limitada pelas curvas <br> 0 e .
Calcule as integrais a seguir: