Calcule as integrais indefinidas a seguir: integral x sen 2 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . Esse problema está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está dentro da seno: . Isso parece ser uma boa candidata para substituição. Vamos chamar . Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
du = ddx(2x^2) , dx = 4x , dx
Perceba que temos um x , dx = 14 , du , mas na nossa integral original temos apenas . Para ajustar isso, podemos rearranjar:

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original:

Passo 5

A integral de em relação a u é 14 integral sen(u) , du = 14 (-cos(u)) + C = -14 cos(u) + C . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta -14 cos(2x^2) + C :

Resposta

A integral indefinida é:

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