Calcule as integrais a seguir: integral0^3 d xraiz9-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 3 da função 1raiz9 - x^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais que envolvem funções com radicais no denominador.

Passo 2

A integral que temos é integral0^3 dxraiz9 - x^2. Essa expressão se parece com uma forma padrão de integrais que lidam com raízes quadradas no denominador.

Passo 3

A forma padrão que vamos usar é integral dxraiza^2 - x^2 = arcsin(xa) + C, onde a é uma constante. Nesse caso, comparando com a nossa integral, percebemos que a^2 = 9, então a = 3.

Passo 4

Substituindo a = 3 na forma padrão, a antiderivada fica arcsin(x3) + C. Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3.

Passo 5

Aplicando os limites, temos:
arcsin(33) - arcsin(03) = arcsin(1) - arcsin(0).
Sabemos que arcsin(1) = pi2 e arcsin(0) = 0. Então:
pi2 - 0 = pi2.

Resposta

A integral vale pi2.

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