Calcule as integrais a seguir: integral0^4 d xraiz[3]x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 4. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente integrais com potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. A função integral0^4 (x - 1)^-1/3 , dx pode ser escrita como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a regra de potência para integrar. A regra de potência diz que:
integral (x - a)^n , dx = (x - a)^n+1n+1 + C
onde integral (x - 1)^-1/3 , dx = (x - 1)^(-1/3)+1(-1/3)+1 + C = (x - 1)^2/32/3 + C = 32 (x - 1)^2/3 + C é a constante de integração. No nosso caso, e . Então, aplicando a regra:

Passo 4

Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 4, vamos avaliar a expressão que encontramos nos limites de integração:
[ 32 (x - 1)^2/3 ]0^4 = 32 (4 - 1)^2/3 - 32 (0 - 1)^2/3

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. 32 times 3^2/3 - 32 times 1 = 32 ( 3^2/3 - 1 ) , então é a raiz cúbica de 3 elevada ao quadrado.
  2. , mas como a expoente é , fica . Sabemos que e a raiz cúbica de 1 é 1, então .
Então, substituindo:

Resposta

32 ( 3^2/3 - 1 )

Exercícios relacionados