Faça o esboço da região R plana limitada pelas curvas indicadas (Valendo 2,5 Pontos) e calcule sua área (Valendo 2,5 Pontos): R é limitada pelas curvas y^2 - 4x = <br> 4 e 4x - y = 16.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa desenhar a região no plano que é limitada pelas curvas e . Além disso, temos que calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de curvas e cálculo de integrais para encontrar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região . A primeira curva é . Vamos rearranjar essa equação para facilitar o entendimento:
Isso representa uma parábola que abre para a direita. A segunda curva é uma linha reta dada por . Vamos reescrever essa equação na forma para facilitar a plotagem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para isso, substituímos da reta na equação da parábola:
Expandindo o quadrado:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Simplificando a equação dividindo todos os termos por 4:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara é a mais indicada aqui:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Como , temos duas soluções reais:
Portanto:

Passo 5

Com os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a equação da reta :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região :
  • A parábola abre para a direita.
  • A reta tem inclinação positiva e intercepta o eixo em .
Os pontos de interseção nos ajudam a identificar os limites da região a ser calculada.

Passo 7

Para encontrar a área da região , vamos calcular a integral da diferença das funções no intervalo de a .
Primeiro, expressamos em termos de para a parábola:
Como a reta está acima da parábola nesse intervalo, a área é dada por:
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
  1. Integral de :
  1. Integral de :
Fazendo substituição , então ou .

Passo 9

Agora, avaliamos as integrais no intervalo de a :
  1. Para :
  1. Para :
Calculando:

Passo 10

Finalmente, somando as duas partes da integral:
Á

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades quadradas.

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