Faça o esboço da região
plana limitada pelas curvas indicadas (Valendo 2,5 Pontos) e calcule sua área (Valendo 2,5 Pontos): R é limitada pelas curvas
<br> 4 e
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A gente precisa desenhar a região
no plano que é limitada pelas curvas
e
. Além disso, temos que calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre interseção de curvas e cálculo de integrais para encontrar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam a região
. A primeira curva é
. Vamos rearranjar essa equação para facilitar o entendimento:
Isso representa uma parábola que abre para a direita. A segunda curva é uma linha reta dada por
. Vamos reescrever essa equação na forma
para facilitar a plotagem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Para isso, substituímos
da reta na equação da parábola:
Expandindo o quadrado:
Vamos levar todos os termos para um lado da equação:
Simplificando a equação dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula de Bhaskara é a mais indicada aqui:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Como
, temos duas soluções reais:
Portanto:
Passo 5
Com os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, vamos esboçar as curvas para visualizar a região
:
- A parábola
abre para a direita. - A reta
tem inclinação positiva e intercepta o eixo em .
Os pontos de interseção nos ajudam a identificar os limites da região a ser calculada.
Passo 7
Para encontrar a área da região
, vamos calcular a integral da diferença das funções no intervalo de
a
.
Primeiro, expressamos
em termos de
para a parábola:
Como a reta está acima da parábola nesse intervalo, a área é dada por:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
- Integral de
:
- Integral de
:
Fazendo substituição
, então
ou
.
Passo 9
Agora, avaliamos as integrais no intervalo de
a
:
- Para
:
- Para
:
Calculando:
Passo 10
Finalmente, somando as duas partes da integral:
Resposta
A área da região
é aproximadamente
unidades quadradas.