O custo unitário C = C(x) para produzir um certo artigo num período de 10 anos é dado por C(x) = 30 + 0.5 x + 0.03 x^3 onde x é o tempo em meses. Determine o custo unitário médio durante o período sabendo que 0 <= x <= 120

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo unitário para produzir um artigo ao longo de 10 anos, onde é o tempo em meses. A gente precisa encontrar o custo unitário médio nesse período, sabendo que meses. Para isso, vamos usar o conceito de custo médio, que basicamente é a média dos custos ao longo do tempo considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular a média de uma função numa certa intervalo, usamos a fórmula:
é
Aqui, e , então a fórmula fica:
é

Passo 3

Vamos calcular a integral . Para isso, integraremos termo a termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Para :
Somando tudo:
Para , todos os termos são zero, então:
Portanto, o valor da integral é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo médio usando a fórmula:
é

Resposta

O custo unitário médio durante o período de 10 anos é R$ 13.020,00.

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