Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(b) integral x e^-5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x e^-5 x , dx. Esse exercício faz parte do estudo de integração por partes, que é uma técnica usada quando a integral é o produto de duas funções. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da integral vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral original serão e . A dica é escolher como a parte que se simplifica quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Na nossa integral integral x e^-5 x , dx, vamos escolher:
u = x e dv = e^-5x , dx
Agora, vamos calcular du = ddx(x) , dx = 1 , dx e v = integral e^-5x , dx = -15 e^-5x :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^-5x , dx = x ( -15 e^-5x ) - integral ( -15 e^-5x ) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -x5 e^-5x + 15 integral e^-5x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral restante: integral e^-5x , dx. Integrando:
integral e^-5x , dx = -15 e^-5x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
-x5 e^-5x + 15 ( -15 e^-5x ) + C
Simplificando os termos:
= -x5 e^-5x - 125 e^-5x + C

Resposta

Portanto, a integral resulta em:
integral x e^-5x , dx = -x5 e^-5x - 125 e^-5x + C

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