Determine o ramo principal da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o ramo principal da função
. Para isso, vamos trabalhar com a matéria de funções complexas, especificamente focando nos ramos principais de funções multi-valor como a raiz quadrada. Vamos precisar entender como definir um ramo principal para garantir que a função seja bem definida sem ambiguidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é uma função multi-valor no campo complexo, o que significa que para cada número complexo
diferente de zero, existem dois valores de raiz quadrada. Para evitar essa confusão, a gente escolhe um ramo principal, que é uma forma de definir a função de maneira única.
Passo 3
O ramo principal da função
é geralmente definido de forma que o argumento de
(a fase) esteja entre
e
. Assim, a função
no ramo principal é dada por:
onde
e
.
Passo 4
Agora, queremos aplicar isso à função
. Basicamente, estamos fazendo uma translação no plano complexo. A função
terá um corte de ramo deslocado em comparação com
.
Passo 5
Para determinar o ramo principal de
, a gente considera que o corte de ramo estará na linha que começa no ponto onde
é um número real negativo. Isso acontece quando
, onde
é um número real não positivo (
). Então, o corte de ramo estará na linha real a partir de
para a esquerda.
Passo 6
Portanto, o ramo principal da função
é definido de forma que, para todo
no plano complexo, exceto na linha real
, a função
será uma função única e bem definida, seguindo a definição do ramo principal da raiz quadrada.
Resposta
O ramo principal da função
é definido de tal forma que o corte de ramo está na linha real de
, garantindo que para todo
no plano complexo com
onde
, a função
seja bem definida e única.
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.