Determine o ramo principal da função raiz(z - 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar o ramo principal da função . Para isso, vamos trabalhar com a matéria de funções complexas, especificamente focando nos ramos principais de funções multi-valor como a raiz quadrada. Vamos precisar entender como definir um ramo principal para garantir que a função seja bem definida sem ambiguidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é uma função multi-valor no campo complexo, o que significa que para cada número complexo diferente de zero, existem dois valores de raiz quadrada. Para evitar essa confusão, a gente escolhe um ramo principal, que é uma forma de definir a função de maneira única.

Passo 3

O ramo principal da função é geralmente definido de forma que o argumento de (a fase) esteja entre e . Assim, a função no ramo principal é dada por:
onde e .

Passo 4

Agora, queremos aplicar isso à função . Basicamente, estamos fazendo uma translação no plano complexo. A função terá um corte de ramo deslocado em comparação com .

Passo 5

Para determinar o ramo principal de , a gente considera que o corte de ramo estará na linha que começa no ponto onde é um número real negativo. Isso acontece quando , onde é um número real não positivo ( ). Então, o corte de ramo estará na linha real a partir de para a esquerda.

Passo 6

Portanto, o ramo principal da função é definido de forma que, para todo no plano complexo, exceto na linha real , a função será uma função única e bem definida, seguindo a definição do ramo principal da raiz quadrada.

Resposta

O ramo principal da função é definido de tal forma que o corte de ramo está na linha real de , garantindo que para todo no plano complexo com onde , a função seja bem definida e única.

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