Use as partes real e imaginária da relação
1 + z + z^2 + ... + z^n = (1 - z^(n+1)) / (1 - z)
para obter uma fórmula para
(i) 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx)
(ii) sen(x) + sen(2x) + ... + sen(nx)
(iii) sen(theta) + sen(theta + phi) + ... + sen(theta + n phi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma soma geométrica que envolve números complexos:
Nosso objetivo é usar as partes real e imaginária dessa relação para encontrar fórmulas para somas envolvendo cossenos e senos, que são funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como eles se relacionam com cossenos e senos através da fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que liga números complexos com funções trigonométricas. A fórmula diz que para qualquer ângulo :
Aqui, é um número complexo, onde é a parte real e é a parte imaginária. Essa relação vai nos ajudar a separar as partes real e imaginária da nossa soma geométrica.

Passo 3

Agora, vamos considerar . Então, a soma geométrica fica:
De acordo com a fórmula dada no enunciado:
Substituindo por :

Passo 4

Agora, vamos dividir essa expressão em suas partes real e imaginária. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por (que é o conjugado de ):
Mas para simplificar, vamos separar as partes real e imaginária diretamente.

Passo 5

Vamos escrever a soma original usando a fórmula de Euler:
Isso significa que:
  • A parte real da soma é
  • A parte imaginária da soma é

Passo 6

Igualando as partes real e imaginária dos dois lados da equação original:
Agora, vamos separar essas partes para encontrar as fórmulas que precisamos.

Passo 7

Para encontrar , vamos considerar a parte real da expressão:
Fazendo as contas, a parte real fica:

Passo 8

Analogamente, para , que é a parte imaginária:
E realizando os cálculos, a parte imaginária resulta em:

Passo 9

Agora, vamos adaptar essas fórmulas para o que o exercício pede:
(i) Para , usando a soma de cossenos:
(ii) Para , notando que a soma começa em :
(iii) Para , fazemos uma pequena adaptação usando a mesma lógica:

Resposta

As fórmulas solicitadas são:
(i)
(ii)
(iii)

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