Use as partes real e imaginária da relação
para obter uma fórmula para
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma soma geométrica que envolve números complexos:
Nosso objetivo é usar as partes real e imaginária dessa relação para encontrar fórmulas para somas envolvendo cossenos e senos, que são funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre números complexos e como eles se relacionam com cossenos e senos através da fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que liga números complexos com funções trigonométricas. A fórmula diz que para qualquer ângulo
:
Aqui,
é um número complexo, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Essa relação vai nos ajudar a separar as partes real e imaginária da nossa soma geométrica.
Passo 3
Agora, vamos considerar
. Então, a soma geométrica fica:
De acordo com a fórmula dada no enunciado:
Substituindo
por
:
Passo 4
Agora, vamos dividir essa expressão em suas partes real e imaginária. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador por
(que é o conjugado de
):
Mas para simplificar, vamos separar as partes real e imaginária diretamente.
Passo 5
Vamos escrever a soma original usando a fórmula de Euler:
Isso significa que:
- A parte real da soma é
- A parte imaginária da soma é
Passo 6
Igualando as partes real e imaginária dos dois lados da equação original:
Agora, vamos separar essas partes para encontrar as fórmulas que precisamos.
Passo 7
Para encontrar
, vamos considerar a parte real da expressão:
Fazendo as contas, a parte real fica:
Passo 8
Analogamente, para
, que é a parte imaginária:
E realizando os cálculos, a parte imaginária resulta em:
Passo 9
Agora, vamos adaptar essas fórmulas para o que o exercício pede:
(i) Para
, usando a soma de cossenos:
(ii) Para
, notando que a soma começa em
:
(iii) Para
, fazemos uma pequena adaptação usando a mesma lógica:
Resposta
As fórmulas solicitadas são:
(i)
(ii)
(iii)
Exercícios relacionados
Determine
onde
é cada um dos números
,
. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.
Determine todos os
que satisfazem
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(b)
(b)
Determine o ramo principal da função
.