Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(e) integral x^4 ln (x) d x

Passo 1

Aqui, temos a integral integral x^4 ln (x) , dx. Vamos utilizar o método de integração por partes, que é útil quando a função a ser integrada é produto de duas funções, como neste caso onde temos x^4 e ln(x). Para aplicar esse método, precisamos identificar qual parte da integral será u e qual será dv.

Passo 2

Escolhemos u = ln(x) porque sua derivada é mais simples, e dv = x^4 , dx. Essa escolha facilita a resolução, já que derivar ln(x) simplifica a expressão.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = 1x , dx
v = integral x^4 , dx = x^55

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^4 ln(x) , dx = ln(x) cdot x^55 - integral x^55 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificamos a integral restante:
x^55 cdot 1x = x^45
Portanto:
integral x^4 ln(x) , dx = x^5 ln(x)5 - 15 integral x^4 , dx

Passo 6

Calculamos a integral integral x^4 , dx:
integral x^4 , dx = x^55 + C

Passo 7

Substituímos de volta na expressão anterior:
integral x^4 ln(x) , dx = x^5 ln(x)5 - 15 cdot x^55 + C

Resposta

integral x^4 ln (x) , dx = x^5 ln (x)5 - x^525 + C

Exercícios relacionados

Determine o ramo principal da função raiz(z - 1).
Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(b) integral x e^-5 x d x
Mostre que a imagem do aberto {z : -pi/2 < Re(z) < pi/2, 0 < } Im(z) pela função f(z) = sen(z) é o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}.
Calcule as integrais indefinidas
(i) integral raiz16 x^5 d x