Determine arg_0(z) onde z é cada um dos números 1 + i, (1 + i)^4, (raiz(3)/2 + i)^5. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o argumento de alguns números complexos e calcular o logaritmo principal desses mesmos números. Aqui a gente vai mexer com números complexos, especificamente com argumentos e logaritmos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o argumento de um número complexo. O argumento, denotado por , é o ângulo que o vetor que representa o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a função trigonométrica tangente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro número: . Esse número pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas (1, 1).

Passo 4

Para encontrar o argumento de , usamos a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo número: . Primeiro, precisamos elevar à quarta potência. Para facilitar, vamos expressar na forma polar.

Passo 6

Sabemos que tem módulo e argumento . Então, podemos escrever:

Passo 7

Elevando à quarta potência:
Então, .

Passo 8

O argumento de no plano complexo é pi, já que está situado no eixo real negativo.

Passo 9

Por fim, temos o terceiro número: . Primeiro, vamos encontrar o módulo e argumento de .

Passo 10

O módulo é:
O argumento é:

Passo 11

Agora, elevamos à quinta potência:
Calculando:
E:
Então:

Passo 12

O argumento é . Agora, identificamos os argumentos de todos os números complexos:

Passo 13

Agora, vamos calcular o logaritmo principal desses números. O logaritmo principal de um número complexo é dado por:

Passo 14

Calculando para cada caso:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Resposta

Os argumentos e logaritmos principais dos números são:
  1. e
  2. e
  3. e

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