Determine onde é cada um dos números , . Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o argumento de alguns números complexos e calcular o logaritmo principal desses mesmos números. Aqui a gente vai mexer com números complexos, especificamente com argumentos e logaritmos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o argumento de um número complexo. O argumento, denotado por , é o ângulo que o vetor que representa o número complexo faz com o eixo real positivo no plano complexo. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a função trigonométrica tangente.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro número: . Esse número pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas .
Passo 4
Para encontrar o argumento de , usamos a fórmula:
Aqui, e , então:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo número: . Primeiro, precisamos elevar à quarta potência. Para facilitar, vamos expressar na forma polar.
Passo 6
Sabemos que tem módulo e argumento . Então, podemos escrever:
Passo 7
Elevando à quarta potência:
Então, .
Passo 8
O argumento de no plano complexo é , já que está situado no eixo real negativo.
Passo 9
Por fim, temos o terceiro número: . Primeiro, vamos encontrar o módulo e argumento de .
Passo 10
O módulo é:
O argumento é:
Passo 11
Agora, elevamos à quinta potência:
Calculando:
E:
Então:
Passo 12
O argumento é . Agora, identificamos os argumentos de todos os números complexos:
Passo 13
Agora, vamos calcular o logaritmo principal desses números. O logaritmo principal de um número complexo é dado por:
Passo 14
Calculando para cada caso:
Para :
Para :
Para :
Resposta
Os argumentos e logaritmos principais dos números são: