Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(d) integral x sen(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método de integração por partes. Esse método é parte do cálculo integral e é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como aqui onde temos e . Para isso, vamos precisar identificar quais funções escolher para e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a ideia é escolher e de forma que a integral resultante seja mais fácil de calcular.

Passo 3

Vamos escolher:
A razão dessa escolha é que ao derivar u = x e dv = sen(4x) dx , simplificamos para , e ao integrar , conseguimos uma função mais simples.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = dx e v = integral sen(4x) dx = -14 cos(4x) :
Para encontrar , integramos :
(Lembrando que a integral de é )

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
integral x sen(4x) dx = u , v - integral v , du = x ( -14 cos(4x) ) - integral ( -14 cos(4x) ) dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral cos(4x) dx = 14 sen(4x) :
(Usamos que a integral de é )

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde -x4 cos(4x) + 116 sen(4x) + C é a constante de integração.

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