Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
4 partial^2 upartial x^2+12 partial^2 upartial x partial y+5 partial^2 upartial y^2=6 partial upartial x-partial upartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial parcial e precisamos descobrir se ela é hiperbólica, parabólica ou elíptica. Para isso, vamos usar o conteúdo de classificação de equações diferenciais parciais. Precisamos identificar os coeficientes dos termos de segunda ordem e aplicar uma fórmula específica para classificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes dos termos de segunda ordem na equação dada:
4 partial^2 upartial x^2 + 12 partial^2 upartial x partial y + 5 partial^2 upartial y^2 = 6 partial upartial x - partial upartial y
Aqui, os coeficientes são:
  • (coeficiente de )
  • (metade do coeficiente de , pois geralmente a forma padrão usa )
  • (coeficiente de )

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação, que nos ajuda a classificar o tipo da equação diferencial. A fórmula do discriminante é:
D = b^2 - a cdot c
Substituindo os valores que encontramos:
D = 6^2 - 4 cdot 5 = 36 - 20 = 16

Passo 4

Com o valor do discriminante em mãos, podemos classificar a equação:
  • Se , a equação é hiperbólica.
  • Se , a equação é parabólica.
  • Se , a equação é elíptica.
No nosso caso, , que é maior que zero.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é hiperbólica.

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