Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
Passo 1
Beleza, bora lá! A gente tem um exercício que pede para classificar uma equação diferencial parcial como hiperbólica, parabólica ou elíptica. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de equações diferenciais parciais e como classificá-las usando o discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações diferenciais parciais de segunda ordem podem ser classificadas em três tipos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. A classificação depende do comportamento das soluções e de como as derivadas segundas aparecem na equação.
Passo 3
A gente usa algo chamado discriminante para ajudar na classificação. Para uma equação geral de segunda ordem na forma:
O discriminante é dado por:
Passo 4
Com o discriminante, a classificação é a seguinte:
- Elíptica: Se
- Parabólica: Se
- Hiperbólica: Se
Passo 5
Agora, vamos reescrever a equação dada de forma que fique mais parecida com a forma geral que mencionamos. A equação é:
Podemos reorganizar para:
Comparando com a forma geral, identificamos:
-
-
(porque não tem termo misto) -
(não tem derivada segunda em )
Passo 6
Calculando o discriminante:
Passo 7
Como o discriminante
, de acordo com a classificação, a equação é parabólica.
Resposta
A equação diferencial parcial dada é parabólica.
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(d)
(d)
Sendo
, determine o valor de
.
Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
Qual é o menor valor que a função
dada por
?