Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
partial upartial t=a^2 partial^2 upartial x^2, a in R+^*

Passo 1

Beleza, bora lá! A gente tem um exercício que pede para classificar uma equação diferencial parcial como hiperbólica, parabólica ou elíptica. A equação que vamos analisar é:
partial upartial t = a^2 partial^2 upartial x^2, a in R+^*
Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de equações diferenciais parciais e como classificá-las usando o discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações diferenciais parciais de segunda ordem podem ser classificadas em três tipos: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. A classificação depende do comportamento das soluções e de como as derivadas segundas aparecem na equação.

Passo 3

A gente usa algo chamado discriminante para ajudar na classificação. Para uma equação geral de segunda ordem na forma:
A partial^2 upartial x^2 + 2B partial^2 upartial x partial t + C partial^2 upartial t^2 + termos de primeira ordem + termos sem derivadas = 0
O discriminante é dado por:
D = B^2 - AC

Passo 4

Com o discriminante, a classificação é a seguinte:
  • Elíptica: Se
  • Parabólica: Se
  • Hiperbólica: Se

Passo 5

Agora, vamos reescrever a equação dada de forma que fique mais parecida com a forma geral que mencionamos. A equação é:
partial upartial t = a^2 partial^2 upartial x^2
Podemos reorganizar para:
- a^2 partial^2 upartial x^2 + partial upartial t = 0
Comparando com a forma geral, identificamos:
  • (porque não tem termo misto)
  • (não tem derivada segunda em )

Passo 6

Calculando o discriminante:
D = B^2 - AC = 0^2 - (-a^2)(0) = 0 - 0 = 0

Passo 7

Como o discriminante , de acordo com a classificação, a equação é parabólica.

Resposta

A equação diferencial parcial dada é parabólica.

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