Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(g) integral e^x cos (2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e trigonométricas. Para isso, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher e . Agora, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando du = ddx(e^x) , dx = e^x , dx :
v = integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)
Calculando :

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^x cos(2x) , dx = e^x cdot 12 sin(2x) - 12 integral e^x sin(2x) , dx
Então, temos:
I = 12 e^x sin(2x) - 12 integral e^x sin(2x) , dx

Passo 5

Agora precisamos resolver a nova integral u = e^x e dv = sin(2x) , dx usando novamente integração por partes. Escolhemos:
du = e^x , dx
Calculando v = -12 cos(2x) e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^x sin(2x) , dx = e^x cdot ( -12 cos(2x) ) - integral ( -12 cos(2x) ) e^x , dx
Simplificando:
integral e^x sin(2x) , dx = -12 e^x cos(2x) + 12 integral e^x cos(2x) , dx

Passo 7

Voltando à equação do Passo 4, substituímos a integral que encontramos:
I = 12 e^x sin(2x) - 12 ( -12 e^x cos(2x) + 12 integral e^x cos(2x) , dx )
Simplificando:
I = 12 e^x sin(2x) + 14 e^x cos(2x) - 14 I

Passo 8

Agora, isolamos I + 14 I = 12 e^x sin(2x) + 14 e^x cos(2x) :
54 I = 12 e^x sin(2x) + 14 e^x cos(2x)
I = 45 ( 12 e^x sin(2x) + 14 e^x cos(2x) )
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Simplificando a expressão final:
I = 25 e^x sin(2x) + 15 e^x cos(2x) + C
onde é a constante de integraç��o.

Resposta

A integral 25 e^x sin(2x) + 15 e^x cos(2x) + C é igual a:

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