Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(m) integral e^raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de e^raizxraizx em relação a x, usando a técnica de mudança de variáveis. Isso significa que vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão e facilitar a resolução da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para tornar a integral mais simples. Observando raizx tanto no expoente quanto no denominador, parece uma boa ideia definir uma nova variável para isso. Então, vamos chamar:
u = raizx

Passo 3

Com essa substituição, precisamos expressar dx em termos de du. Sabemos que:
u = x^1/2 Rightarrow x = u^2
Agora, derivando ambos os lados em relação a u:
dxdu = 2u Rightarrow dx = 2u,du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral e^raizxraizx,dx = integral e^uu cdot 2u,du
Aqui, o u no denominador e o u que vêm de dx se cancelam:
= 2 integral e^u,du

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Então:
2 integral e^u,du = 2 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, precisamos voltar à variável original, x, substituindo u = raizx de volta:
2 e^u + C = 2 e^raizx + C

Resposta

integral e^raizxraizx,dx = 2,e^raizx + C

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