Problema 5 Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de x + y + x*y = 3 no ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da equação no ponto . Aqui, a gente vai trabalhar com derivadas implícitas para achar a inclinação da reta tangente. Precisamos lembrar como derivar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Quando derivamos , fica . Derivar em relação a nos dá . Já para o termo , usamos a regra do produto: derivada de vezes mais vezes a derivada de . E a derivada de uma constante, como , é zero.
Então, derivando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Vamos isolar :

Passo 4

Agora que temos a expressão para , vamos avaliar no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Resposta

A equação da reta tangente no ponto é:
Simplificando:

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