Resolução

  1. Caso a parte real P(x, y) e a parte imaginária Q(x, y) de f(z), dada em (2.1), ^60 sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
d f=partial fpartial x d x+partial fpartial y d y
Em particular, z=x+i y e barz=x-i y acarretam
d z=d x+i d y e d barz=d x-i d y
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
d f=12(partial fpartial x-i partial fpartial y) d z+12(partial fpartial x+i partial fpartial y) d barz
Portanto, podemos utilizar as notações
partialpartial z=12(partialpartial x-i partialpartial y) e partialpartial barz=12(partialpartial x+i partialpartial y)
para representarmos (2.28) por
d f=partial fpartial z d z+partial fpartial barz d barz
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) partialpartial z(4 barz^2-z^3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas de funções complexas usando as notações de Wirtinger, que ajudam a lidar com variáveis e tratadas como independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a derivada parcial nessas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que partialpartial z = 12(partialpartial x - i partialpartial y) e partialpartial barz = 12(partialpartial x + i partialpartial y) , onde e são variáveis reais. As derivadas de Wirtinger são definidas como:
Essas definições nos permitem tratar e como variáveis independentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivada partialpartial z(4barz^2 - z^3) = 4partialpartial z(barz^2) - partialpartial z(z^3) na função . Usando a linearidade da derivada, podemos separar os termos:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, partialpartial z(barz^2) = 0 . Como é tratada como uma variável independente de , a derivada de em relação a é zero:

Passo 5

Agora, calculamos partialpartial z(z^3) = 3z^3-1 = 3z^2 . Usando a regra de potência para derivadas, temos:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
partialpartial z(4barz^2 - z^3) = 4 times 0 - 3z^2 = -3z^2

Resposta

partialpartial z(4 barz^2 - z^3) = -3 z^2

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