Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
Essa fórmula é super útil para transformar expressões que envolvem cossenos e senos em exponenciais complexas.

Passo 3

Observando a integral, vemos que temos uma parte que se parece com a fórmula de Euler:
Então, podemos reescrever a integral usando essa identidade:

Passo 4

Agora, vamos combinar os exponentes:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Perceba que é exatamente , de acordo com a fórmula de Euler. Então:
Mas, na verdade, isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a expressão .

Passo 6

Então, vamos analisar a expressão no expoente:
Portanto:
Essa é a série de Taylor do exponencial complexa.

Passo 7

Integrando termo a termo:

Passo 8

Sabemos que:
Portanto, apenas o termo com contribui para a soma:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Resolução

  1. Caso a parte real e a parte imaginária de , dada em (2.1), sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular, e acarretam
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) ;
Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(g)
Calcule.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .