integral0^2 pi e^cos t(cos (sen t)+i sen(sen t)) d t=2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
Essa fórmula é super útil para transformar expressões que envolvem cossenos e senos em exponenciais complexas.

Passo 3

Observando a integral, vemos que temos uma parte que se parece com a fórmula de Euler:
Então, podemos reescrever a integral usando essa identidade:

Passo 4

Agora, vamos combinar os exponentes:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Perceba que é exatamente cos t + i sen t, de acordo com a fórmula de Euler. Então:
Mas, na verdade, isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a expressão .

Passo 6

Então, vamos analisar a expressão no expoente:
Portanto:
Essa é a série de Taylor do exponencial complexa.

Passo 7

Integrando termo a termo:

Passo 8

Sabemos que:
integral0^2 pi e^int dt = 2pi & se n = 0, 0 & se n neq 0
Portanto, apenas o termo com n=0 contribui para a soma:
sumn=0^infty 1n! cdot 2pi cdot de

Resposta

A integral vale 2pi.

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