Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e exponenciais complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Euler, que relaciona funções trigonométricas com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler:
Essa fórmula é super útil para transformar expressões que envolvem cossenos e senos em exponenciais complexas.
Passo 3
Observando a integral, vemos que temos uma parte que se parece com a fórmula de Euler:
Então, podemos reescrever a integral usando essa identidade:
Passo 4
Agora, vamos combinar os exponentes:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Perceba que é exatamente
, de acordo com a fórmula de Euler. Então:
Mas, na verdade, isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a expressão .
Passo 6
Então, vamos analisar a expressão no expoente:
Portanto:
Essa é a série de Taylor do exponencial complexa.
Passo 7
Integrando termo a termo:
Passo 8
Sabemos que:
Portanto, apenas o termo com
contribui para a soma:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Resolução
- Caso a parte real
e a parte imaginária de , dada em (2.1), sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular,
e
acarretam
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) ;
(a)
Calcule as integrais indefinidas a seguir utilizando o método de integração por partes
(g)
(g)
Calcule.
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .
(a) A parábola de equação