Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(k) integral xx^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . A gente vai usar a técnica de mudança de variável, também conhecida como substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída por outra variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando o denominador , podemos deixar . Isso porque o numerador é a derivada de , que aparece dentro de .

Passo 3

Agora, derivamos du = ddx(x^2 + 9) , dx = 2x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que .

Passo 4

Substituímos integral xx^2+9 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral integral 1u , du = ln|u| + C é uma integral fundamental que resulta no logaritmo natural:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo 12 ln|x^2 + 9| + C :
12 ln(x^2 + 9) + C
Como é sempre positivo, podemos remover as barras de valor absoluto:

Resposta

integral xx^2+9 , dx = 12 ln(x^2 + 9) + C

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