Mostre que a imagem do aberto
pela função
é o semi-plano superior
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a imagem do conjunto aberto
pela função
é o semi-plano superior
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções holomorfas e mapeamento de conjuntos no plano complexo. Precisamos entender como a função seno age sobre números complexos e como isso afeta a parte imaginária desses números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo
, onde
e
, a função seno pode ser expressa como:
Isso nos dá a parte real e imaginária de
.
Passo 3
Queremos focar na parte imaginária de
, pois nosso objetivo é mostrar que
. A parte imaginária é dada por:
Sabemos que
para todo
, já que o seno hiperbólico de qualquer número positivo é positivo.
Passo 4
Além disso, no conjunto dado, temos que
. Nessa faixa,
é sempre positiva porque o cosseno é positivo entre
e
. Portanto,
.
Passo 5
Combinando essas duas observações:
Isso mostra que, para qualquer
no conjunto dado, a parte imaginária de
é positiva. Ou seja, a imagem de
desse conjunto está no semi-plano superior onde
.
Resposta
A imagem do conjunto
pela função
é, de fato, o semi-plano superior
.
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.
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(i)
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(k)
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