Mostre que a imagem do aberto {z : -pi/2 < Re(z) < pi/2, 0 < } Im(z) pela função f(z) = sen(z) é o semi-plano superior {z: Im(z) > 0}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a imagem do conjunto aberto pela função é o semi-plano superior . Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções holomorfas e mapeamento de conjuntos no plano complexo. Precisamos entender como a função seno age sobre números complexos e como isso afeta a parte imaginária desses números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um número complexo , onde e , a função seno pode ser expressa como:
Isso nos dá a parte real e imaginária de .

Passo 3

Queremos focar na parte imaginária de , pois nosso objetivo é mostrar que . A parte imaginária é dada por:
Sabemos que para todo , já que o seno hiperbólico de qualquer número positivo é positivo.

Passo 4

Além disso, no conjunto dado, temos que . Nessa faixa, cos(x) é sempre positiva porque o cosseno é positivo entre e . Portanto, .

Passo 5

Combinando essas duas observações:
Isso mostra que, para qualquer z no conjunto dado, a parte imaginária de é positiva. Ou seja, a imagem de desse conjunto está no semi-plano superior onde .

Resposta

A imagem do conjunto pela função é, de fato, o semi-plano superior .

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