Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral 4(1x-e^-x) cos (e^-x+ln x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Precisamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição. Olhando para a função dentro do cosseno, parece uma boa ideia definir:
u = e^-x + ln x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = -e^-x + 1x em relação a dudx = 1x - e^-x para saber como substituir o diferencial . Calculando:
Ou seja,

Passo 4

Vamos rearranjar essa expressão para isolar (1x - e^-x)dx = du :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. A integral fica:
4integral (1x - e^-x) cos(e^-x + ln x) dx = 4integral cos(u) , du

Passo 6

Integrando 4integral cos(u) , du = 4sin(u) + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos 4sin(e^-x + ln x) + C de volta pela expressão original:

Resposta

4 sin(e^-x + ln x) + C

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