Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral x^2+43 xx^3+2 x^2-1 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida da função em relação a . O conteúdo envolvido aqui é integração por substituição, que é uma técnica usada para simplificar integrais complicadas tornando-as mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que o denominador é u = x^3 + 2x^2 - 1 . Vamos chamar esse denominador de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 + 4x em relação a , ou seja, , para substituir na integral.

Passo 4

Queremos expressar a integral em termos de x^2 + 43x = 13(3x^2 + 4x) = 13dudx e . Notamos que o numerador da nossa integral original é , que é semelhante à derivada que encontramos ( ), apenas multiplicada por .

Passo 5

Substituímos os termos na integral:
integral x^2+43 xx^3+2 x^2-1 dx = integral 13 duu = 13 integral duu

Passo 6

A integral de 13 integral duu = 13 ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Portanto:

Passo 7

Finalmente, substituímos 13 ln|x^3 + 2x^2 - 1| + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral indefinida é igual a .

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