1 ^a Questão Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada).
e) integral 1-sen xx+cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para facilitar a resolução. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Olha só o denominador u = x + cos x . Se a gente chamar esse de , fica mais fácil lidar. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de dudx = 1 - sen x em relação a du = (1 - sen x) , dx , que é . Vamos calcular:
Isso significa que:

Passo 4

Olha só como a gente substitui na integral original. A expressão que está no numerador é exatamente integral 1 - sen xx + cos x , dx = integral duu . Então, substituindo:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: integral duu = ln |u| + C . Sabemos que a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, a gente volta para a variável original substituindo ln |u| + C = ln |x + cos x| + C de volta:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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