1 ^a Questão Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada).
d) integral e^2 x x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^2x x^2 dx. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da integral vamos diferenciar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes. Lembra como funciona? A fórmula é integral u , dv = uv - integral v , du. Vamos escolher:
  • u = x^2 (porque ao derivar, simplifica)
  • dv = e^2x dx (fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • du = 2x , dx (derivando u)
  • v = 12 e^2x (integrando dv)

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^2x x^2 dx = u cdot v - integral v , du = x^2 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 2x , dx
Simplificando:
= 12 x^2 e^2x - integral x e^2x dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^2x dx usando integração por partes novamente. Vamos escolher:
  • u = x
  • dv = e^2x dx

Passo 6

Calculamos du e v:
  • du = dx
  • v = 12 e^2x

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral x e^2x dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x dx = 12 x e^2x - 14 e^2x + C

Passo 8

Voltando à integral original:
integral e^2x x^2 dx = 12 x^2 e^2x - ( 12 x e^2x - 14 e^2x ) + C
Simplificando:
= 12 x^2 e^2x - 12 x e^2x + 14 e^2x + C
Fatorando e^2x:
= e^2x ( 12 x^2 - 12 x + 14 ) + C

Resposta

integral e^2x x^2 dx = e^2x ( 12 x^2 - 12 x + 14 ) + C

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral x^2+43 xx^3+2 x^2-1 d x
Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral 4(1x-e^-x) cos (e^-x+ln x) d x
Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral 3 t(1+9 t^2)^4 d t
Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral(cos (3 x)-x^2)(sen(3 x)-x^3)^5 d x