Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral 3 t(1+9 t^2)^4 d t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral indefinida de uma função usando uma técnica chamada substituição. A função que vamos integrar é:
integral 3 t(1+9 t^2)^4 , dt
Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável. Olhando para o denominador, u = 1 + 9t^2 parece uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudt = 18t em relação a du = 18t , dt , que é . Vamos calcular:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar t , dt = du18 em termos de 3t , dt = 318 du = 16 du . A equação acima nos dá:
Mas na nossa integral original, temos . Vamos multiplicar ambos os lados por 3:

Passo 5

Agora, vamos substituir integral 3t(1 + 9t^2)^4 , dt = integral 16 cdot 1u^4 , du e 16 integral u^-4 , du na integral original. A integral fica:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . A regra básica de integração para integral u^-4 , du = u^-3-3 + C = -13u^3 + C é:
Aplicando isso aqui, com :

Passo 7

Voltando à nossa integral, temos:
16 ( -13u^3 ) + C = -118u^3 + C

Passo 8

Lembrando que -118(1 + 9t^2)^3 + C , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral indefinida é:
-118(1 + 9 t^2)^3 + C

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1 ^a Questão Calcule as seguintes integrais (vale 2.5 cada).
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