Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem que calcular a integral indefinida de uma função usando uma técnica chamada substituição. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável. Olhando para o denominador,
parece uma boa candidata para substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Vamos calcular:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. A equação acima nos dá:
Mas na nossa integral original, temos
. Vamos multiplicar ambos os lados por 3:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na integral original. A integral fica:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. A regra básica de integração para
é:
Aplicando isso aqui, com
:
Passo 7
Voltando à nossa integral, temos:
Passo 8
Lembrando que
, vamos substituir de volta:
Resposta
A integral indefinida é:
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d)
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