Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral(cos (3 x)-x^2)(sen(3 x)-x^3)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de . Vamos usar o método de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que, ao ser substituída, facilite o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar nossa integral mais clara:
Vamos chamar de integral (cos(3x) - x^2) (sen(3x) - x^3)^5 , dx a função que está sendo elevada à quinta potência: . Esse será nosso substituto.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du/dx = ddx [sen(3x) - x^3] = 3cos(3x) - 3x^2 em relação a , ou seja, :
Note que a expressão é similar ao que temos fora do parêntese na nossa integral original, que é .

Passo 4

Vamos rearranjar du = (3cos(3x) - 3x^2) , dx = 3(cos(3x) - x^2) , dx para facilitar a substituição:
(cos(3x) - x^2) , dx = du3
Isso significa que:
Agora, podemos substituir e na nossa integral original.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando:
integral (cos(3x) - x^2) (sen(3x) - x^3)^5 , dx = integral (sen(3x) - x^3)^5 cdot (cos(3x) - x^2) , dx = integral u^5 cdot du3

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^5 , du = u^66 + C em relação a 13 cdot u^66 + C = u^618 + C :
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta para obter a resposta final:

Resposta

A integral é igual a .

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