Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral cos (x) sen(sen(x)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando integração por substituição. Isso faz parte do cálculo integral, onde queremos simplificar a integral trocando partes dela por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral, vemos que u = sin(x) está dentro de outra função, dudx = cos(x) . Então, vamos deixar:
du = cos(x) , dx
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original usando integral cos(x) sin(sin(x)) , dx = integral sin(u) , du e :
A gente simplificou a integral original para , que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Vamos agora integrar integral sin(u) , du = -cos(u) + C em relação a :
Aqui, é a constante de integração que sempre acompanha as integrais indefinidas.

Passo 5

Por fim, vamos voltar à variável original substituindo -cos(u) + C = -cos(sin(x)) + C por :

Resposta

A integral indefinida é:
-cos(sin(x)) + C

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3 . ^a Questão
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