3 .
Questão
(a) (3.0) Calcule
. Dica: Use a identidade
.
(a) (3.0) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão está no conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade que vai facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, a dica nos sugere multiplicar e dividir a integranda por
. Isso pode parecer estranho, mas vai ajudar bastante. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Vamos verificar:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto, a derivada de
é
, que é exatamente o numerador.
Passo 5
Com isso, podemos simplificar a integral usando uma substituição:
Sejam
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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(b)
d)