3 . ^a Questão
(a) (3.0) Calcule integral sec (theta) d theta. Dica: Use a identidade integral sec (theta) d theta=integral sec (theta) sec (theta)+tan (theta)sec (theta)+tan (theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está no conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade que vai facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, a dica nos sugere multiplicar e dividir a integranda por integral sec(theta) dtheta = integral sec(theta) cdot sec(theta) + tan(theta)sec(theta) + tan(theta) dtheta . Isso pode parecer estranho, mas vai ajudar bastante. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador:
sec(theta) cdot (sec(theta) + tan(theta)) = sec^2(theta) + sec(theta)tan(theta)
Então, a integral fica:
integral sec^2(theta) + sec(theta)tan(theta)sec(theta) + tan(theta) dtheta

Passo 4

Observamos que o numerador é a derivada do denominador. Vamos verificar:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
Portanto, a derivada de é , que é exatamente o numerador.

Passo 5

Com isso, podemos simplificar a integral usando uma substituição:
Sejam integral duu = ln|u| + C , então .
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando para a variável original ln|sec(theta) + tan(theta)| + C :

Resposta

A integral de integral sec(theta) dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C em relação a é:

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Calcule as integrais indefinidas usando integração por substituição: integral cos (x) sen(sen(x)) d x
a Questão Calcule as derivadas, exibindo todos os seus cálculos:
(b) f(x) = sen(-x^2 + 5)
^a Questão Calcule as seguintes integrais.
d) integral e^x sen(x) d x