Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(b) integral(1-x^2)^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do assunto de integração por substituição, que é uma técnica usada para simplificar integrais complicadas fazendo uma mudança de variável. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que, ao definir como uma nova variável, facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifica a integral. Observando a expressão u = 1 - x^2 , percebemos que o termo dentro do parênteses, , é uma boa candidata para ser nossa nova variável .
Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = -2x em relação a du = -2x , dx para encontrar -12 du = x , dx . Derivando , temos:
Isso significa que:
Ou, rearranjando:

Passo 4

Vamos substituir integral (1 - x^2)^3 x , dx = integral u^3 (-12 du) e -12 integral u^3 , du na integral original. A integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, basta integrar integral u^3 , du = u^44 + C em relação a -12 cdot u^44 + C = -u^48 + C :
Onde é a constante de integração. Então, temos:

Passo 6

Por fim, vamos substituir de volta -(1 - x^2)^48 + C na expressão:

Resposta

A integral -(1 - x^2)^48 + C é igual a:

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