Ponha tan(z) = sen(z) / cos(z). Calcule a derivada de tan(z) e determine seus pontos singulares. Dê essa função na forma u + i v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a derivada de tan(z) e encontrar seus pontos singulares. Além disso, precisamos escrever a função na forma . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e entender onde a função pode não ser diferenciável (os pontos singulares). Vamos precisar lembrar como derivar funções como seno e cosseno e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisão de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função , a derivada dela é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(z) e :
  • (porque a derivada de é cos(z))
  • (porque a derivada de cos(z) é )

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então temos:

Passo 7

A derivada de tan(z) é:
Onde .

Passo 8

Agora, vamos encontrar os pontos singulares. São os pontos onde a função tan(z) não é diferenciável, ou seja, onde o denominador da função original é zero. Olhando , isso acontece quando .

Passo 9

Resolvendo , sabemos que isso ocorre para:
Então, os pontos singulares de tan(z) são todos os z que satisfazem essa equação.

Passo 10

Por fim, vamos escrever a derivada na forma . Sabemos que . Se considerarmos , podemos expandir usando identidades trigonométricas complexas, mas para simplificar, mantemos a forma:
Onde e , dependendo dos valores de x e y.

Resposta

A derivada de tan(z) é e seus pontos singulares ocorrem em , onde k é qualquer inteiro. Escrevendo a derivada na forma , temos .

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