Ponha
. Calcule a derivada de
e determine seus pontos singulares. Dê essa função na forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a derivada de
e encontrar seus pontos singulares. Além disso, precisamos escrever a função na forma
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções trigonométricas e entender onde a função pode não ser diferenciável (os pontos singulares). Vamos precisar lembrar como derivar funções como seno e cosseno e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são divisão de duas outras funções.
Passo 3
A regra do quociente diz que se temos uma função
, a derivada dela é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
(porque a derivada de é ) -
(porque a derivada de é )
Passo 5
Substituindo na regra do quociente:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então temos:
Passo 7
A derivada de
é:
Onde
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar os pontos singulares. São os pontos onde a função
não é diferenciável, ou seja, onde o denominador da função original é zero. Olhando
, isso acontece quando
.
Passo 9
Resolvendo
, sabemos que isso ocorre para:
Então, os pontos singulares de
são todos os
que satisfazem essa equação.
Passo 10
Por fim, vamos escrever a derivada na forma
. Sabemos que
. Se considerarmos
, podemos expandir usando identidades trigonométricas complexas, mas para simplificar, mantemos a forma:
Onde
e
, dependendo dos valores de
e
.
Resposta
A derivada de
é
e seus pontos singulares ocorrem em
, onde
é qualquer inteiro. Escrevendo a derivada na forma
, temos
.
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Mostre que
e que
.