Em quais pontos a função
é derivável?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta em quais pontos a função
é derivável. Isso está relacionado ao estudo de funções de uma variável complexa e, mais especificamente, à análise de diferenciabilidade usando as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar entender como aplicar essas equações para determinar onde a função é derivável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é um número complexo que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. O conjugado de
, denotado por
, é
. Então, a função dada é:
Passo 3
Vamos simplificar
usando a fórmula de Euler, que diz que
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos separar a função em suas partes real e imaginária. Seja
, então:
Passo 5
Para verificar se a função é derivável em algum ponto, usamos as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
Para satisfazer a primeira equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que:
Como
nunca é zero, temos que
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a segunda equação de Cauchy-Riemann:
Então, para cumprir:
Isso dá:
Mais uma vez, como
nunca é zero, temos que
.
Passo 8
Resumindo, para que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas, precisamos que:
No entanto, não existe nenhum valor de
que faça as duas equações verdadeiras ao mesmo tempo, já que
sempre.
Resposta
A função
não é derivável em nenhum ponto do plano complexo.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas
(g)
(g)
Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(a)
(a)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(b)
(b)