Em quais pontos a função exp(z) é derivável?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta em quais pontos a função exp(z) é derivável. Isso está relacionado ao estudo de funções de uma variável complexa e, mais especificamente, à análise de diferenciabilidade usando as Equações de Cauchy-Riemann. Vamos precisar entender como aplicar essas equações para determinar onde a função é derivável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que z é um número complexo que pode ser escrito como , onde x e y são números reais. O conjugado de z, denotado por z barra, é . Então, a função dada é:

Passo 3

Vamos simplificar usando a fórmula de Euler, que diz que . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos separar a função em suas partes real e imaginária. Seja , então:

Passo 5

Para verificar se a função é derivável em algum ponto, usamos as Equações de Cauchy-Riemann. Elas são:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:
Para satisfazer a primeira equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que:
Como nunca é zero, temos que .

Passo 7

Agora, vamos verificar a segunda equação de Cauchy-Riemann:
Então, para cumprir:
Isso dá:
Mais uma vez, como nunca é zero, temos que .

Passo 8

Resumindo, para que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas, precisamos que:
No entanto, não existe nenhum valor de y que faça as duas equações verdadeiras ao mesmo tempo, já que sempre.

Resposta

A função exp(z) não é derivável em nenhum ponto do plano complexo.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas
(g) integral 7raizx d x
Verifique se se cumprem as condições de Cauchy-Riemann para as seguintes funções:
(i) f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3)
(ii) f(z) = e^(-y) (cos x + i sen x)
(iii) f(z) = e^(-x) (cos y - i sen y)
(iv) f(z) = e^y (cos x + i sen x)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(a) integral 2 x sen(x^2) d x
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(b) integral(1-x^2)^3 x d x