Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(d) integral x^3(x^4+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida: . O conteúdo aqui é cálculo integral, mais especificamente, vamos usar mudança de variável (também conhecida como substituição) para resolver essa integral. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que, ao substituir por uma variável nova, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão u = x^4 + 1 , percebemos que a parte dentro do parênteses, , pode ser uma boa candidata para a substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 4x^3 , que é a derivada de du = 4x^3 dx em relação a x^3 dx = du4 . Vamos derivar ambos os lados da equação:
Isso significa que:
Queremos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos integral x^3(x^4+1)^5 dx = integral (u)^5 cdot du4 e 14 integral u^5 du na integral original:
14 cdot u^66 + C = u^624 + C
Podemos puxar a constante para fora da integral:
Agora, integramos :

Passo 5

Por fim, substituímos (x^4 + 1)^624 + C de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

(x^4 + 1)^624 + C

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