Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
(a) integral 2 x sen(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Esse exercício é de cálculo integral, mais especificamente de integração por substituição (ou mudança de variável). Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao derivar, apareça na integral também. Aqui, observamos que é o derivado de , o que vai facilitar nossa substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^2
Agora, vamos derivar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para encontrar :
Perceba que aparece exatamente na nossa integral original, o que é perfeito para a substituição.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
Agora, a integral ficou muito mais simples! Precisamos apenas encontrar a integral de em relação a integral 2x cdot sen(x^2) , dx = integral sen(u) , du .

Passo 4

A integral de é uma das integrais básicas que você aprende:
Onde integral sen(u) , du = -cos(u) + C é a constante de integração, que sempre colocamos em integrais indefinidas.

Passo 5

Agora, voltamos à variável original substituindo -cos(u) + C = -cos(x^2) + C de volta:
Então, essa é a expressão final da nossa integral.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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