Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
® integral e^x1-e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida usando mudança de variável. A gente tem que calcular . Para isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição inteligente. Vamos deixar . Essa escolha ajuda a simplificar o denominador da fração.

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = -e^x Rightarrow du = -e^x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo integral e^x1 - e^x , dx = integral -duu = -integral duu e na integral original, ficamos com:
Agora, a integral está bem mais simples!

Passo 5

A integral de -integral duu = -ln|u| + C em relação a é , onde é a constante de integração. Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo -ln|1 - e^x| + C :

Resposta

A integral indefinida é:
-ln|1 - e^x| + C

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