é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
12. Caso seja uma função holomorfa e seja constante, mostre que é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função tal que .
Resolução
é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
Consequentemente,
Logo, como , temos . Assim,
Portanto,
Encontre a função tal que (ou explique porque essa função não existe).
2.6.3 Integrais
Seja a circunferência unitária parametrizada por , onde .
(a) calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
onde é a circunferência unitária parametrizada por com .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções complexas ao longo de curvas, especificamente utilizando o teorema de Cauchy. Vamos precisar entender conceitos como funções holomorfas, singularidades e resíduos para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de uma função complexa ao longo de uma curva fechada. A integral
representa a soma das contribuições de ao longo da trajetória .
No nosso caso, a função a ser integrada é . Observamos que ela tem uma singularidade em , já que o denominador se anula nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Cauchy sobre resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções que têm singularidades dentro da curva de integração. O teorema afirma que:
onde é o resíduo de no ponto dentro de .
No nosso caso, a única singularidade de dentro da circunferência unitária é em .
Passo 4
Vamos determinar o resíduo de em . O resíduo é o coeficiente de na expansão em série de Laurent de em torno de (neste caso, ).
Sabemos que a série de Taylor de é:
Então,
O termo com (que é o resíduo) é quando :
Portanto, o resíduo de em é .
Passo 5
Aplicando o Teorema de Cauchy sobre resíduos, temos: