partialpartial barz f(z)=partialpartial z f(z)
  1. Demonstre que
partialpartial z partialpartial barz & =partialpartial barz partialpartial z & =14(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) & =14 De
onde
De
é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que f(z) é holomorfa em z0=x0+i y0 se, e somente se, f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) e, nesse caso,
partial fpartial x+i partial fpartial y=0
em z0 ^62 ou seja,
partial fpartial barz=0
em z0, por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que f(z) seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de d barz deve nulo em (2.30), isto é, d f deve ser proporcional a d z, onde f^prime(z) é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais a, b, c e d devem satisfazer para que a função
f(z)=a x+b y+i(c x+d y)
seja holomorfa.
12. Caso f(z)=P(x, y)+i Q(x, y) seja uma função holomorfa e P(x, y) seja constante, mostre que f(z) é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função f(z) tal que Re(f(z))=x^2+2 x-y^2+1.

Resolução

P(x, y)=x^2+2 x-y^2+1 é harmônica. ^63 Agora, suponha que existe Q(x, y) tal que f=P+i Q seja holomorfa em todo C. Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
partial Qpartial x=-partial Ppartial y=2 y
Portanto,
Q(x, y)=2 x y+h(y)
Consequentemente,
partial Qpartial y & =2 x+h^prime(y) & =partial Ppartial x & =2 x+2
Logo, como h^prime(y)=2, temos h(y)=2 y. Assim,
Q(x, y)=2 x y+2 y
Portanto,
f(z)=P+i Q=x^2+2 x-y^2+1+i(2 x y+2 y)
  1. Encontre a função f tal que Re(f(z))=x^3-3 x y^2 (ou explique porque essa função não existe).
    2.6.3 Integrais
  2. Seja gamma a circunferência unitária parametrizada por , onde z(t)=cos t+i sen t=e^it.
    (a) t in[0,2 pi] calcule a integral
Por(2.16), ^64

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
ointgamma e^zz , dz
onde gamma é a circunferência unitária parametrizada por z(t) = e^it com t in [0, 2pi].
Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções complexas ao longo de curvas, especificamente utilizando o teorema de Cauchy. Vamos precisar entender conceitos como funções holomorfas, singularidades e resíduos para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de uma função complexa ao longo de uma curva fechada. A integral
ointgamma f(z) , dz
representa a soma das contribuições de f(z) ao longo da trajetória gamma.
No nosso caso, a função a ser integrada é f(z) = e^zz. Observamos que ela tem uma singularidade em z = 0, já que o denominador se anula nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Cauchy sobre resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções que têm singularidades dentro da curva de integração. O teorema afirma que:
ointgamma f(z) , dz = 2pi i cdot Res(f, a)
onde Res(f, a) é o resíduo de f no ponto a dentro de gamma.
No nosso caso, a única singularidade de f(z) = e^zz dentro da circunferência unitária gamma é em z = 0.

Passo 4

Vamos determinar o resíduo de f(z) em z = 0. O resíduo é o coeficiente de (z - a)^-1 na expansão em série de Laurent de f(z) em torno de a (neste caso, a = 0).
Sabemos que a série de Taylor de e^z é:
e^z = sumn=0^infty z^nn!
Então,
e^zz = 1z sumn=0^infty z^nn! = sumn=0^infty z^n-1n!
O termo com z^-1 (que é o resíduo) é quando n = 0:
z^-10! = 1z
Portanto, o resíduo de f(z) em z = 0 é 1.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Cauchy sobre resíduos, temos:
ointgamma e^zz , dz = 2pi i cdot Res(e^zz, 0) = 2pi i cdot 1 = 2pi i

Resposta

A integral é igual a 2,pi,i.

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