1. Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
11. Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
12. Caso seja uma função holomorfa e seja constante, mostre que é constante.
Sugestão: Use as condições de Cauchy-Riemann supracitadas.
13. Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
Consequentemente,
Logo, como , temos . Assim,
Portanto,
  1. Encontre a função tal que (ou explique porque essa função não existe).
    2.6.3 Integrais
  2. Seja a circunferência unitária parametrizada por , onde .
    (a) calcule a integral

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
onde é a circunferência unitária parametrizada por com .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções complexas ao longo de curvas, especificamente utilizando o teorema de Cauchy. Vamos precisar entender conceitos como funções holomorfas, singularidades e resíduos para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de uma função complexa ao longo de uma curva fechada. A integral
representa a soma das contribuições de ao longo da trajetória .
No nosso caso, a função a ser integrada é . Observamos que ela tem uma singularidade em , já que o denominador se anula nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Cauchy sobre resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções que têm singularidades dentro da curva de integração. O teorema afirma que:
onde é o resíduo de no ponto dentro de .
No nosso caso, a única singularidade de dentro da circunferência unitária é em .

Passo 4

Vamos determinar o resíduo de em . O resíduo é o coeficiente de na expansão em série de Laurent de em torno de (neste caso, ).
Sabemos que a série de Taylor de é:
Então,
O termo com (que é o resíduo) é quando :
Portanto, o resíduo de em é .

Passo 5

Aplicando o Teorema de Cauchy sobre resíduos, temos:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

(b) Como a equação pode ser reescrita na forma
ou seja,
se , temos
Consequentemente, pela segunda sugestão do primeiro exercício dessa seção, temos
Assim,
isto é,
Portanto,
  1. Escreva os polinômios complexos (dos itens seguintes) em notação real, ou seja, na forma
(a) ;
(a)
Calcule as integrais indefinidas, usando mudança de variáveis:
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